ตอบตรงๆ

เฉลยถามตรงๆ จากสัปดาห์ที่แล้วครับ

จะสังเกตว่าทุกข้อถามเกี่ยวกับระยะทางที่สั้นที่สุด เฉลยทุกข้อก็จะมีแนวคิดเหมือนๆ กัน คืออาศัยกฎที่ว่าเส้นทางสั้นที่สุดระหว่างสองจุดใดๆ คือเส้นตรงที่เชื่อมสองจุดนั้นนั่นเอง ความพลิกแพลงอยู่ที่แต่ละข้อนั้นมีมากกว่าสองจุดทั้งนั้น ทำอย่างไรจึงจะแปลงโจทย์ให้เหลือเพียงสองจุด?

1. ดูรูปข้างล่างน่าจะเข้าใจนะครับ คือให้คิดซะว่าจุด B อยู่อีกฝากของแม้น้ำ (และแม่น้ำเป็นเพียงแค่เส้นตรง ไม่มีความกว้าง) ก็จะสรุปได้ว่าเดินเป็นเส้นตรงจะได้ระยะที่สั้นที่สุด ทีนี้ถ้าจุด B อยู่ฝั่งนี้ของแม่น้ำก็แค่สะท้อนเส้นทางกลับมาทางฝากนี้ก็จะได้ทางเดินที่สั้นที่สุดครับ สำหรับระยะทางก็โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ 50 เมตร
   
2. ข้อนี้ก็ใช้การสะท้อนรูปเหมือนกันครับ แต่สะท้อนหลายครั้งหน่อย ดูรูปเลยจะเข้าใจดีกว่า จะเห็นว่าไม่ว่าจะกั้นเป็นสี่เหลี่ยมรูปแบบใด จุดต้นกับจุดปลายจะอยู่ห่างกันเป็นระยะทางตรง 2√2 เมตรเสมอ เพราะฉะนั้นต้องใช้ไม้อย่างน้อยที่สุด 2√2 เมตร (เส้นสีน้ำเงินในรูปคือความยาวไม้กั้นถ้ากั้นตามเส้นสีแดงในรูป สีเขียวคือระยะทางที่สั้นที่สุด ซึ่งถ้าสะท้อนกลับมาจะได้เป็นรูปสี่เหลี่ยมจตุรัส)
   
3. ข้อสุดท้ายนี้หินมาก ถ้าใครคิดได้ขอปรบมือให้ครับ ก็ต้องแปลงรูปเหมือนข้อก่อนๆ แต่คราวนี้เป็นสามเหลี่ยมเลยเป็นการหมุนรูปรอบจุด C เป็นมุม 60° ทีนี้ก็จะเห็นว่าสามเหลี่ยม CHH' เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า เพราะมุมหนึ่งเป็น 60° และ |CH|=|CH'| ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า |HH'|=|CH|　นอกจากนั้น |A'H'|=|AH| เพราะเป็นส่วนของเส้นตรงเดียวกันที่หมุนมา
   เพราะฉะนั้นระยะ |AH|+|BH|+|CH|=|A'H'|+|BH|+|HH'| หรือเส้นสีแดงจากจุด B ไปยัง A' นั่นเอง ทีนี้ก็เข้ารูปแบบเดิม คือระยะทางที่สั้นที่สุดต้องเป็นเส้นตรง เพราะฉะนั้นจุด H ต้องเป็นจุดที่ทำให้ ∠BHC + ∠CHH' = 180° หรือ ∠BHC = 120°　นั่นเอง (เพราะ CHH' เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า) ในทำนองเดียวกันก็ได้เงื่อนไขว่า ∠AHC = 120° ด้วย
   ผู้อ่านลองไปคิดต่อเอาเองนะครับว่าจะหาจุด H ที่มีคุณสมบัติเช่นนี้ได้อย่างไร? แล้วถ้าเป็นสี่เหลี่ยมล่ะ จุด H จะต้องมีคุณสมบัติอย่างไร?

ในตอนต้นที่บอกไปว่า "เส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างสองจุดใดๆ คือเส้นตรง" แต่จริงๆ แล้วยังมีเรขาคณิตแบบอื่นที่เส้นทางที่สั้นที่สุดดูเหมือนจะไม่ใช่เส้นตรง! ดูตัวอย่างง่ายๆ ได้จากแผนที่แสดงเส้นทางการบิน ซึ่งจะเห็นเส้นทางระหว่างเมืองไกลๆ เป็นเส้นโค้ง เคยคิดไหมว่าทำไมไม่บินตรงๆ จะได้ประหยัดน้ำมัน? ที่จริงแล้วเส้นทางการบินที่โค้งๆ นี่แหละคือเส้นทางที่สั้นที่สุดแล้ว สาเหตุที่ดูโค้งๆ บนแผนที่เพราะแผนที่พยายามปรับเอาพื้นผิวโค้งๆ ของโลกเรามาทำให้ดูแบน ทางที่สั้นที่สุดจึงดูโค้งๆ ไปด้วย นอกจากนั้นแล้วเรขาคณิตบนผิวโลกนี้ ยังเป็นเรขาคณิตแบบไม่ใช่ยูคลิดอีกด้วย (เรขาคณิตแบบยูคลิดคือแบบที่เราเรียนกันอยู่ทั่วไป ว่ามุมภายในของสามเหลี่ยมบวกกันต้องเท่ากับสองมุมฉาก) ซึ่งแปลว่าทฤษฎีบางอย่างที่เรียนมาจะใช้ไม่ได้ (เช่น ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) แต่ไม่ต้องห่วงนะครับ ถ้าหากคิดแค่ระยะทางสั้นๆ หน่วยสิบกิโลเมตรก็ยังคงใช้เรขาคณิตแบบยูคลิดคำนวณเอาได้ครับ นั่นคือถ้าระยะคนหรือม้าเดินก็ใช้คุณสมบัติเส้นตรง ทฤษฎีบทพีทาโกรัสคำนวณได้ แต่ถ้าระยะทางบินของเครื่องบินก็ไม่แน่?