เฉลยชวนคิดคณิตศาสตร์ (4)

เฉลยปัญหาจากชวนคิดคณิตศาสตร์ (4) ครับ

1. ให้ช่องว่างที่ 1,2,3,4 เป็นตัวแปร a,b,c,d ตามลำดับ เงื่อนไขของโจทย์ ทำให้ตั้งสมการยากอยู่บ้าง เนื่องจากค่าของตัวแปรจะขึ้นอยู่กับตัวมันเองด้วย (เช่นถ้า b เป็น 2 จะทำให้มีเลข 2 เพิ่มขึ้นอีก 1 ตัว) แต่ถ้ามองภาพรวม ก็พอจะตั้งสมการโดยใช้ผลรวมของตัวเลขเป็นเงื่อนไขได้ นั่นคือ ผลรวมของตัวเลขทั้ง 8 ตัวในโจทย์จะต้องเป็น 1+2+3+4+a+b+c+d=10+a+b+c+d แต่ถ้ามีเลข 1 อยู่ a ตัว เลข 2 อยู่ b ตัว ... จะได้ว่าผลรวมต้องเป็น a+2b+3c+4d ผลรวมนี้ต้องเท่ากัน จึงได้ว่า
   
   
   10+a+b+c+d = a+2b+3c+4d
   
   หรือจัดรูปได้
   
   
   b+2c+3d = 10
   
   สมการที่ผมพอจะตั้งได้ก็มีแค่นี้ ถ้าผู้อ่านท่านใดมีวิธีแก้วิธีอื่นก็ทิ้งคอมเมนท์ไว้ด้วยนะครับ ก็ชักจะเริ่มจอด เพราะมี 1 สมการ แต่ตั้ง 3 ตัวแปร ดังนั้นจึงต้องพยายามจำกัดตัวแปรลงโดยใช้เงื่อนไขจากโจทย์ จากการลองผิดลองถูกสักพัก เราสังเกตว่าคงไม่มีเลข 4 ที่อื่นอีกแล้ว (อันนี้ลองดูเองนะครับ ว่าถ้า a เป็น 4 จะแปลว่าอะไร) นั่นคือเราสรุปได้ว่า d=1 (มีเลข 4 อยู่ 1 ตัว) สมการจึงกลายเป็น
   
   
   b+2c = 7
   
   ทำให้ได้ว่า b ต้องเป็นเลขคี่ (เนื่องจาก 2c เป็นคู่ และคู่ + คี่ = คี่) นั่นคือ b=1 หรือ 3, ถ้า b=1 จะได้ c=3 ซึ่งถ้าเติมลงในประโยค จะได้ว่า a=3 ได้คำตอบคือ
   
   

   ในประโยคนี้ มีเลข 1 อยู่ 3 ตัว, มีเลข 2 อยู่ 1 ตัว, มีเลข 3 อยู่ 3 ตัว และมีเลข 4 อยู่ 1 ตัว

   
   อีกกรณีหนึ่งกรณี b=3 จะได้ c=2 และ a=2 ได้คำตอบคือ
   
   

   ในประโยคนี้ มีเลข 1 อยู่ 2 ตัว, มีเลข 2 อยู่ 3 ตัว, มีเลข 3 อยู่ 2 ตัว และมีเลข 4 อยู่ 1 ตัว

   
   อ่า... แซ่บ


2. ข้อนี้กะจะหารูปมาให้ดูกัน แต่ขี้เกียจ ไว้วันหลังค่อยเอามาแปะละกัน คำตอบก็คือ ถ้าต้องการแบ่งเอกสารเป็น 3 กลุ่ม ใช้ที่หนีบกระดาษ 2 อันก็พอครับ โดยหนีบเอกสารกลุ่มที่ 2 ก่อน แล้ววางเอกสารกลุ่มที่ 3 ไว้ข้างล่าง ตามด้วยเอกสารกลุ่มที่ 2 ที่หนีบอยู่ด้วยกัน แล้วซ้อนด้วยเอกสารกลุ่มที่ 1 แล้วหนีบเอกสารปึกนี้ไว้ด้วยกัน ก็จะสามารถพกพาไปไหนต่อไหนได้ โดยสามารถแยกกลุ่มเอกสารได้โดยง่าย :-)
   
   กรณีมีที่หนีบกระดาษ 3 อัน สามารถแบ่งเอกสารได้ 5 กลุ่มครับ โดยเลียนแบบจากวิธีข้างบน คือหนีบกลุ่มที่ 2, 4 ก่อน แล้วใช้กลุ่ม 2, 4 นี้เป็นตัวคั่นระหว่างเอกสารกลุ่มที่ 1, 3, 5 แล้วหนีบรวมกันทั้งหมด ก็จะได้เอกสาร 5 กลุ่ม ด้วยที่หนีบกระดาษเพียง 3 อัน
   
   ส่วนกรณีทั่วไปนั้น ให้มองที่หนีบกระดาษเหมือนที่ตั้ง (ที่คั่น?) หนังสือ (แบบที่ใช้ตั้งหนังสือบนชั้นหนังสือน่ะครับ) ที่หนีบกระดาษเหมือนที่ตั้งหนังสือ 2 อัน (คือมันจะหนีบหัวและท้าย) ถ้ามีที่หนีบกระดาษ n อัน ก็เหมือนมีที่ตั้งหนังสือ 2n อัน ซึ่งสามารถเอามาแบ่งหนังสือออกได้เป็น 2n-1 กลุ่มพอดี |BB|BBBB|B|  (|= ที่คั่นหนังสือ, B=หนังสือ)
   
   สำหรับคนที่ยังสนุกกับที่หนีบกระดาษ ลองคิดวิธีหนีบเอกสารเป็น 3 กลุ่ม โดยใช้ที่หนีบ 2 อัน ที่ไม่เหมือนกับที่เฉลยมาสิครับ! (มีอยู่อีก 1 วิธี)


3. ข้อนี้ก็อยากลงรูปเหมือนกัน แต่ผลัดเฉลยมาหลายวันแล้ว ขอเฉลยเป็นคำพูดก่อนละกัน ข้อนี้ให้ดูที่ "หน้า" หรือ "พื้นผิว" ของรูปทรง 3 มิติแต่ละรูปครับ ทรงกลมมีพื้นผิว 1 พื้นผิว (มันเรียบเป็นผิวเดียวกันหมด) กรวยมี 2 พื้นผิว (ผิวล่างที่เป็นวงกลมกับผิวด้านข้าง) ทรงกระบอกมี 3 พื้นผิว ปิระมิดมี 5 พื้นผิว ลูกบาศก์มี 6 พื้นผิว ฉะนั้นจะเห็นว่าขาดรูปทรงที่มี 4 พื้นผิวไป ซึ่งก็คือรูปทรง 4 หน้า นั่นเอง

อาจจะเผ็ดไปบ้างสำหรับบางคน หรือบางคนอาจจะแค่คันๆ แต่หวังว่าทุกคนคงได้สนุกกันบ้างนะครับ (คิดยังไงทิ้งคอมเมนท์ไว้ด้วยครับ จะได้ปรับรสชาติให้กลมกล่อม) แล้วพบกันใหม่ในตอนหน้าครับ