เฉลยปัญหาจาก Mathematics can be fun

เฉลยปัญหาจากสัปดาห์ที่แล้วครับ
  1. ก่อนอื่นขออธิบายก่อนว่าทำไมแบ่ง 50-30 จึงไม่ถูกต้อง นั่นเพราะว่าการแบ่งแบบนี้เสมือนว่านาย C ซื้อท่อนฟืนจากนาย A และ B ในราคาท่อนละ 10 บาท นั่นคือไม่ได้คิดว่านาย A,B ก็ใช้ท่อนฟืนนี้ร่วมกัน จึงต้องคิดจากฟืนที่ใช้ร่วมกันเป็นตัวตั้ง นั่นคือ ฟืน 8 ท่อนแบ่งกันใช้ 3 คน แสดงว่าใช้กันคนละ 8/3 ท่อน นาย A หามาได้ 5 ท่อน เท่ากับหาเกินโควตาตัวเอง 7/3 ท่อนซึ่งแบ่งให้นาย C, นาย B หาเกินโควตา 1/3 ท่อนแบ่งให้นาย C มองจากนาย C ได้รับส่วนแบ่งจาก A 7/3 ท่อน จาก B 1/3 ท่อน จึงเป็นการยุติธรรมที่จะแบ่งเงิน 80 บาทของนาย C ให้ A 70 บาทและ B 10 บาท (นั่นคือท่อนซุงท่อนละ 30 บาท)

    ลองคิดย้อนดูเพื่อตรวจสอบนะครับ ถ้าซุงท่อนละ 30 บาท เท่ากับว่าซุงที่ใช้ 8 ท่อนราคา 240 บาท (เงินของ C 80 บาทเป็นการจ่ายค่าใช้ฟืนจึงไม่นำมารวมด้วย), ซึ่งหมายความว่าจะต้องจ่ายคนละ 80 บาท นาย A จ่ายเป็นซุง 5 ท่อนคือ 150 บาท สมควรได้เงินคืน 70 บาท นาย B จ่ายเป็นซุงมูลค่า 90 บาท สมควรได้คืน 10 บาท ฉะนั้น 80 บาทของนาย C ก็จ่ายคืนให้ A,B 70-10 ถูกต้องแล้ว

    จะเห็นว่าถ้าแปลงฟืนเป็นตัวเงินแล้ว จะเข้าใจง่ายขึ้น แสดงให้เห็นความสะดวกของเงินตราในการแลกเปลี่ยนสิ่งของกัน ถ้าทุกอย่างสามารถแปลงเป็นเงินตราได้ ก็จะสามารถนำตัวเลขมาคำนวณได้อย่างง่ายดาย (แต่ของบางอย่างก็ไม่สามารถซื้อได้ด้วยเงิน ;-)

  2. ข้อนี้ขอแสดงวิธีแก้ 2 วิธี

    วิธีแรกโดยตั้งสมการ สมมติให้ x เป็นจำนวนชาวนาในกลุ่ม y เป็นพื้นที่ที่ชาวนาหนึ่งคนเกี่ยวได้ในครึ่งวัน จะได้ว่าข้าวแปลงแรกมีพื้นที่ xy+(xy/2) = 3xy/2 ส่วนข้าวแปลงที่สองมีพื้นที่ (xy/2)+2y แต่โจทย์บอกว่าแปลงแรกมีพื้นที่เป็น 2 เท่าของแปลงที่สองจึงได้ว่า

    3xy/2 = 2(xy/2 + 2y)

    หาร y ทั้งสองข้าง แล้วจัดรูปจะได้คำตอบ x=8

    ก็ดูไม่ยากครับ ตัวสมการนั้นแก้ง่ายมาก ส่วนที่ต้องใช้ความคิดคือการตั้งสมการ จะต้องคิดว่าจะใช้อะไรเป็นตัวแปร และนำส่วนไหนของโจทย์มาเป็นสมการ เป็นต้น นั่นคือความสามารถในการตั้งสมการเป็นส่วนสำคัญยิ่งในการแก้โจทย์ โดยเฉพาะถ้าเลือกตัวแปรไม่ดี อาจทำให้สมการยุ่งเหยิงเกินความจำเป็นก็เป็นได้

    วิธีที่สองเป็นวิธีสำหรับเด็กประถมที่ยังไม่เรียนการเขียนสมการ แต่สามารถเทียบบัญญัติไตรยางศ์ได้ โดยถ้าเขียนเป็นรูปจะทำให้เห็นภาพได้ชัดเจนขึ้น

    ข้าวแปลงใหญ่ใช้ชาวนาทั้งกลุ่มเกี่ยวครึ่งวัน และชาวนาครึ่งกลุ่มเกี่ยวอีกครึ่งวัน แปลว่าชาวนาครึ่งกลุ่มถ้าใช้เวลาครึ่งวันจะเกี่ยวได้ 1/3 แปลงใหญ่ แต่แปลงเล็กมีขนาดเป็น 1/2 ของแปลงใหญ่ หลังจากจบวันแรกจึงเหลือพื้นที่ที่ไม่ได้เกี่ยวอีก 1/2-1/3 = 1/6 แปลง ซึ่ง 1/6 แปลงนี้เกี่ยวได้โดยชาวนาหนึ่งคนในเวลาหนึ่งวันพอดี แต่ในวันแรกหนึ่งวัน ชาวนาทั้งกลุ่มเกี่ยวได้ 4/3 แปลง ดังนั้นมีชาวนาทั้งสิ้น (4/3)/(1/6) = 8 คนในกลุ่ม

    ดูรูปกันดีกว่า (อยากวาดอ่ะ :P)
    รูปนี้แสดงว่าวันแรก แปลงแรกใช้แรงชาวนาหนึ่งกลุ่มครึ่งวัน และอีกครึ่งกลุ่มครึ่งวัน เพราะฉะนั้นชาวนาครึ่งกลุ่มครึ่งวันจะเกี่ยวได้ 1/3 ของแปลง
    ดังนั้นในแปลงที่สองซึ่งมีพื้นที่เป็นครึ่งหนึ่งของแปลงแรก ถ้าใช้ชาวนาครึ่งกลุ่มครึ่งวันย่อมเหลืออีก 1/6 (ของแปลงใหญ่) ส่วนที่เหลือนี้ใช้ชาวนาคนเดียวทำงานหนึ่งวัน หรือชาวนา 2 คนทำงานครึ่งวันนั่นเอง ซึ่งได้งานเท่ากับครึ่งหนึ่งของชาวนาครึ่งกลุ่มทำงานครึ่งวัน เพราะฉะนั้นชาวนาครึ่งกลุ่มจึงมี 4 คน หรือชาวนากลุ่มนี้มี 8 คน

  3. ข้อนี้ถ้าเปลี่ยนโจทย์เป็นว่า "มีนักวิ่งสองคนวิ่งด้วยความเร็วที่คงที่รอบสนามแห่งหนึ่ง โดยในเวลาที่คนแรกวิ่งครบหนึ่งรอบ คนที่สองจะวิ่งได้ครบ 12 รอบพอดี ถามว่าคนแรกแซงคนที่สองกี่ครั้ง และเวลาที่แซงเป็นเท่าใดบ้าง?" แล้วน่าจะคิดง่ายขึ้นนะครับ ถ้าคนที่สองวิ่งได้ 12 รอบแสดงว่าน็อครอบคนแรกไป 11 ครั้ง นั่นคือแซงคนแรกไป 11 ครั้ง และระยะเวลาระหว่างการแซงแต่ละครั้งก็ย่อมเท่ากันพอดี (เพราะทั้งคู่วิ่งด้วยความเร็วคงที่) เมื่อคิดกลับเป็นนาฬิกาจะได้ว่าเข็มจะซ้อนกันทุกๆ 12/11 ชั่วโมง หรือประมาณ 1 ชั่วโมง 5 นาที 27 วินาที
หวังว่าคงจะได้สนุกกับการออกกำลังกายสมองกันนะครับ

2 comments:

  1. ง่า


    วิธีแก้ปัญหาเรา เป็นแบบ เด็กประถมหรือนี่

    โอ๊วววว

    แสดงว่า ยี่สิบปีผ่านไป learning curve เราเท่าเดิม เลยยังนั่งเทียบบัญญัติไตรยางค์อยู่นะเนี่ย

    หรือเราจะแอดวานซ์ ตั้งบัญญัติไตรยางค์ก่อนเอาไปใส่สมการ

    กี๊ดซ์

    ReplyDelete
  2. เอ๊ะ อ่านจากโพสต์ก่อนก็เห็นคุณ Sirarat ตั้งแก้สมการเหมือนเด็กมัธยมนี่ครับ?

    ReplyDelete