เฉลยชวนคิดคณิตศาสตร์ (1)

เฉลยปัญหาชวนคิดคณิตศาสตร์ (1) ครับ
  1. นาย A เดินด้วยความเร็วคงที่ตามรางรถไฟฟ้า พบว่าเขาสวนกับรถไฟฟ้าที่วิ่งสวนมาทุกๆ 4 นาที แต่รถไฟฟ้าที่วิ่งในทิศทางเดียวกับเขาจะวิ่งมาทันทุกๆ 12 นาที ถ้ารถไฟฟ้าทั้งสองทิศทางมีระยะห่างระหว่างขบวนเป็นเวลาคงที่ที่เท่ากัน ถามว่ารถไฟฟ้าออกห่างจากกันทุกๆ กี่นาที?

    อันดับแรกมาคิดโดยวิธีมาตรฐานคือการตั้งสมการกันก่อนดีกว่า กำหนดตัวแปรดังนี้: ให้ a เป็นระยะทางระหว่างรถไฟฟ้าแต่ละขบวนเป็นเมตร, x คือความเร็วของรถไฟฟ้าเป็นเมตรต่อนาที, y คือความเร็วการเดินของนาย A เป็นเมตรต่อนาที, จะได้ว่า a/(x+y)=4 ในขณะที่ a/(x-y)=12 (อันนี้อาศัยหลักความเร็วสัมพัทธ์ของฟิสิกส์นิดหน่อย) จัดรูปหน่อยได้ว่า

    a=4x + 4y
    a=12x - 12y

    นำสองสมการมาลบกันได้ว่า 8x=16y หรือ y=x/2 แทนกลับเข้าไปในสมการแรกได้ว่า

    a=6x

    แต่โจทย์ถามว่ารถไฟแต่ละขบวนห่างกันกี่นาที นั่นคือ a/x ซึ่งจากสมการข้างบนได้ว่าเท่ากับ 6 นาที จะเห็นว่าเราไม่ได้หาค่า a,x,y ที่ชัดเจน เพราะข้อมูลที่โจทย์ให้มาไม่พอ แต่เราสามารถรู้อัตราส่วนระหว่าง a:x:y ได้ว่าเท่ากับ 12:2:1 ซึ่งเพียงพอสำหรับตอบคำถามได้

    ต่อมาเป็นวิธีลัดครับ วิธีนี้ต้องอาศัยความคิดสร้างสรรค์เล็กน้อย จุดสำคัญคือถ้าหากนาย A ยืนอยู่กับที่ก็จะรู้ว่าระยะเวลาระหว่างขบวนรถสองขบวนเป็นเท่าไร... ดังนั้นก็ทำให้นาย A อยู่กับที่สิ! คิดดังนี้ครับ ถ้านาย A เริ่มเดินเมื่อเขาเห็นรถขาไปผ่านมาพอดี โดยเดินไปในทิศขาไปเป็นเวลา 12 นาที จะเห็นรถขาไปผ่านเขาไป 1 ขบวน จากนั้นก็เดินกลับไปยังจุดเริ่มต้นใช้เวลา 12 นาที (นาย A เดินด้วยความเร็วคงที่) จะสวนกับรถขาไป 3 ขบวน

    ซึ่งระหว่างนี้นาย A ย่อมจะเห็นขบวนรถขาไปเป็นจำนวนเท่ากันกับคนที่ยืนอยู่กับที่! (เพราะสุดท้ายแล้วนาย A ก็กลับมาที่เดิม) สรุปว่าในเวลา 24 นาที นาย A เห็นรถขบวนขาไป 4 ขบวน นั่นแปลว่าแต่ละขบวนออกห่างกัน 6 นาที
  2. ทุ่งหญ้าผืนหนึ่ง ซึ่งหญ้างอกขึ้นอย่างสม่ำเสมอนั้น ถ้าใช้เลี้ยงวัว 70 ตัวจะกินหมดทุ่งในเวลา 30 วัน แต่ถ้าเลี้ยงวัว 40 ตัวจะกินหมดทุ่งในเวลา 60 วัน ถามว่าถ้าจะให้กินหมดทุ่งในเวลา 90 วันจะต้องเลี้ยงวัวกี่ตัว? และถ้าอยากใช้ทุ่งหญ้านี้เลี้ยงวัวโดยวัวจะไม่มีวันกินหญ้าหมดทุ่งได้ จะเลี้ยงได้อย่างมากที่สุดกี่ตัว?
    วัว
    ให้ x เป็นปริมาณหญ้าในทุ่งหญ้า, ให้ y เป็นปริมาณหญ้าที่งอกในแต่ละวัน และ z เป็นปริมาณที่วัวหนึ่งตัวกินได้ใน 1 วัน จะได้ว่า

    2100z = x + 30y
    2400z = x + 60y

    จับมาลบกันได้ว่า 300z = 30y หรือ 10z = y นั่นคือปริมาณหญ้าที่งอกในหนึ่งวันเท่ากับปริมาณหญ้าที่วัว 10 ตัวกินได้ใน 1 วัน ดังนั้นถ้าเลี้ยงวัว 10 ตัวหญ้าก็จะไม่มีวันหมดทุ่ง และก็จะไม่งอกเพิ่มด้วย เพราะงอกมาเท่าไหร่วัวก็กินหมดพอดีในวันนั้น

    ทีนี้ถามว่าถ้าจะกินให้หมดทุ่งใน 90 วันต้องใช้วัวกี่ตัว? นั่นคือ x + 90y เท่ากับกี่ z? นำ 10z = y ไปแทนในสมการแรกจะได้ว่า x = 1800z ดังนั้น x + 90y = 2700z นั่นคือต้องใช้วัว 2700 ตัวใน 1 วันหรือวัว 30 ตัวกินใน 90 วันนั่นเอง

  3. ช่างทำนาฬิกาแบบเข็ม สังเกตุว่าเวลาเที่ยง ถ้าสลับตำแหน่งเข็มสั้นกับเข็มยาวก็จะเป็นตำแหน่งเข็มนาฬิกาที่ถูกต้องอยู่ (ยังเป็นเวลาเที่ยงเหมือนเดิม) แต่เวลาหกโมงถ้าสลับให้เข็มยาวอยู่เลขหก เข็มสั้นอยู่เลขสิบสอง จะไม่ใช่ตำแหน่งเข็มของนาฬิกาที่ถูกต้อง (ไม่มีเวลาใดที่มีตำแหน่งเข็มอย่างนี้) ช่างทำนาฬิกาสงสัยว่า มีตำแหน่งที่สลับเข็มแล้วยังเป็นเวลาที่ถูกต้องอยู่ทั้งหมดกี่ตำแหน่ง? และแต่ละตำแหน่งอยู่ห่างกันกี่นาที?

    ถ้าให้ x,y เป็นมุม (หน่วยเป็นองศา)ที่เข็มสั้นและเข็มยาวทำกับเลข 12 ตามลำดับ และ m เป็นเลขที่แสดงเวลาในหน่อยชั่วโมง จะได้ว่าเข็มยาวอยู่ในตำแหน่งที่เลยชั่วโมงไป y/360 ชั่วโมง (นั่นคือเมื่อ y=180 แสดงตำแหน่งครึ่งชั่วโมงพอดี) และตำแหน่งเข็มสั้นแสดงว่าเลยชั่วโมงไป x/30 - m ชั่วโมง แต่ตำแหน่งเวลาที่ถูกต้องค่าทั้งสองนี้ต้องเท่ากัน นั่นคือ

    y/360 = x/30 - m

    หากสลับเข็มสั้นกับเข็มยาวจะได้สมการที่คล้ายกันดังนี้

    x/360 = y/30 - n

    โดย m,n เป็นจำนวนเต็มจาก 0 ถึง 11 จากนั้นแก้สมการโดยนึกซะว่า m,n เป็นค่าคงที่จะได้ว่า

    x = 12(360m + 30n)/143
    y = 12(360n + 30n)/143

    ซึ่งเมื่อแทนค่า m,n ทุกค่าจาก 0 ถึง 11 ก็จะหาตำแหน่งเข็มสั้น, ยาวที่มีคุณสมบัติที่ต้องการได้ นั่นคือมีอยู่ 12x12 = 144 ตำแหน่ง แต่ตำแหน่งที่ m = n = 0 กับ m = n = 11 จะได้ x = y = 0 กับ x = y = 360 ซึ่งแสดงเวลาเที่ยงเหมือนกัน จึงเหลือแค่ 143 ตำแหน่ง

    พร้อมจะฟังวิธีลัดหรือยังครับ ข้อนี้ต้องคิดนอกกรอบสุดๆ คืออย่านึกถึงนาฬิกา! ให้นึกถึงนักวิ่งจากเฉลยครั้งที่แล้ว คือมีคนวิ่งเร็ว (นายยาว) กับคนวิ่งช้า (นายสั้น) ซึ่งคนวิ่งเร็ววิ่งเร็วกว่า 12 เท่า เท่านั้นเอง ทีนี้ตำแหน่งที่ถูกต้องของนาฬิกาก็คือตำแหน่งของนักวิ่งหลังจากออกวิ่งพร้อมๆ กัน ทีนี้สมมติว่ามีนักวิ่งเร็วมาก (นายยาวมาก) วิ่งเร็วกว่านายยาวของเรา 12 เท่าและก็ออกวิ่งพร้อมๆ กันล่ะ!?

    นาฬิกาเข็ม ตำแหน่งของนายยาวมาก กับนายยาวก็เป็นตำแหน่งของนาฬิกาอีกเช่นกัน (ก็แค่คนสองคนวิ่งเร็วต่างกัน 12 เท่า) แต่เป็นนาฬิกาที่เดินเร็วหน่อยเท่านั้น แต่ตำแหน่งนี้นายยาวทำหน้าที่เป็นแขนสั้น ขณะที่นายยาวมากทำหน้าที่เป็นแขนยาว (เริ่มงงหรือยัง?) แล้วมันช่วยยังไงอ้ะ??

    ลองคิดถึงตำแหน่งที่นายยาวมากกำลังจะแซงนายสั้นสิครับ อย่างที่อธิบายข้างบน ไม่ว่าจะมองเฉพาะนายยาวกับนายสั้น หรือนายยาวกับนายยาวมาก ย่อมเป็นตำแหน่งของเข็มนาฬิกาที่ถูกต้องทั้งคู่ โดยการมองแบบแรกนายยาวทำหน้าที่เป็นเข็มยาว ส่วนแบบที่สองนายยาวทำหน้าที่เป็นเข็มสั้น แต่ในเวลาที่นายยาวมากซ้อนทับนายสั้นพอดี การมองทั้งสองแบบก็จะซ้อนทับกันด้วย ต่างกันเพียง แขนยาวกับแขนสั้นสลับกันเท่านั้นเอง! นั่นคือ ทุกจังหวะที่นายยาวมากซ้อนทับนายสั้น (หรือตอนแซงนายสั้นนั่นเอง) จะเกิดตำแหน่งของเข็มนาฬิกาที่ แม้จะสลับเข็มสั้นกับเข็มยาว ก็ยังเป็นตำแหน่งของเข็มนาฬิกาที่ถูกต้องอยู่ดี

    แล้วมีกี่ตำแหน่งที่นายยาวมากจะน็อครอบนายสั้นล่ะ? ก็ระหว่างที่นายสั้นวิ่งครบหนึ่งรอบสนาม นายยาวมากจะวิ่งได้ 12X12 = 144 รอบ ดังนั้นจะน็อครอบนายสั้น 143 ครั้ง และแต่ละครั้งห่างกันเป็นระยะเวลาเท่ากัน คือ 12/143 ชั่วโมง หรือประมาณ 5 นาที 2 วินาทีนั่นเอง

  4. นาฬิกาเข็มอีกแล้ว แต่คราวนี้มีเข็มวินาทีเพิ่มขึ้นมา โดยเข็มวินาทีเป็นแบบที่เดินด้วยความเร็วคงที่อย่างต่อเนื่อง (ไม่ใช่หนึ่งวินาทีเลื่อนกิ๊กนึง) ถามว่ามีกี่ตำแหน่งที่เข็มทั้งสามจะซ้อนกันพอดี?

    จากเฉลยครั้งก่อนได้ว่ามีตำแหน่งที่เข็มยาวซ้อนกับเข็มสั้น 11 ตำแหน่ง หากเข็มทั้งสามจะซ้อนทับกันก็ต้องอยู่ใน 11 ตำแหน่งนี้ (เพราะเข็มยาวต้องซ้อนเข็มสั้น) สมมติให้ซ้อนทับกันครั้งแรกที่ตำแหน่งที่ x จากเที่ยง (ให้เที่ยงเป็นตำแหน่งที่ 0 และ 11) แต่เพราะเข็มทั้งสามเดินด้วยความเร็วคงที่ ก็ย่อมมาซ้อนกันอีกที่ตำแหน่งที่ 2x, 3x, ... จากเที่ยง (นั่นคือสมมติว่าซ้อนทับครั้งแรกประมาณ 2 ชั่วโมงหลังจากเที่ยง หลังจากนั้นอีกประมาณ 2 ชั่วโมงก็ต้องเกิดการซ้อนกันอีก ไปเรื่อยๆ) แต่สุดท้ายก็จะต้องมาซ้อนกันที่เวลาเที่ยงอีก นั่นคือ x,2x,3x,... แล้วต้องจบด้วย 11 หรือแปลว่า x ต้องหาร 11 ลงตัว เนื่องจาก 11 เป็นจำนวนเฉพาะจึงได้ว่า x เป็นได้แค่ 1, 11 เมื่อ x เป็น 1 จะได้ว่าเข็มทั้งสามจะซ้อนกันในทั้ง 11 ตำแหน่งที่เข็มยาวซ้อนทับเข็มสั้น แต่จากเฉลยคราวที่แล้ว จะได้ว่าเวลาที่เข็มยาวทับเข็มสั้นครั้งแรก เข็มวินาทีไม่ทับด้วย (เวลาประมาณ 1:05:27) แปลว่ากรณีนี้เป็นไปไม่ได้ แสดงว่า x ต้องเป็น 11 ซึ่งแปลว่าเข็มทั้งสามจะซ้อนกันที่ตำแหน่งเที่ยงเพียงตำแหน่งเดียว
ครั้งนี้ค่อนข้างยากครับ ทำไม่ได้ก็อย่าเสียใจครับ ถือว่าเป็นการฝึกฝีมือ ลับสมอง และหวังว่าจะได้เรียนรู้เทคนิคดีๆ ไปใช้ จะเห็นว่าโจทย์ทั้งสองครั้งเป็นโจทย์ที่ใช้เพียงความรู้พื้นฐานในการตั้งสมการ และแก้สมการ แต่ก็ค่อนข้างซ้บซ้อน ตรงนี้อยากสื่อว่าการเรียนคณิตศาสตร์นั้นไม่ใช่การท่องจำสูตร แต่เป็นการเรียนวิธีแก้ปัญหา หรือแปลงโจทย์ให้เข้ากับสูตรหรือเทคนิคที่เราเรียนมา เพราะการแก้สมการนั้นเป็นเรื่องที่ง่ายดายในยุคคอมพิวเตอร์ เพียงคุณตั้งสมการขึ้นมาได้ โปรแกรมจำพวก MATLAB ก็สามารถแก้ให้คุณได้ ขั้นตอนที่คอมพิวเตอร์ (ยัง) ไม่สามารถแทนคนได้ก็คือการตั้งสมการที่ถูกต้อง และการตีความคำตอบที่ได้อย่างถูกต้องนั่นเอง เห็นนักเรียนไทยส่วนใหญ่ยังยึดติดกับสูตร กับวิธีลัด วิธีเดา โดยไม่ได้เรียนรู้เทคนิคการแก้ปัญหาแล้วรู้สึกว่าการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ของเรายังมาไม่ถูกทาง... (โดยเฉพาะอย่างยิ่งฟังคะแนนเฉลี่ย A-NET แล้วได้คะแนนพอๆ กับคนที่เดาสุ่มทั้งหมดยิ่งเศร้าใจ)

1 comment:

  1. เอ่อมมม

    สามชาติเศษแล้ว ทำเป็นไม่รู้ไม่ชี้ แกล้งๆลืมไปตั้งนาน

    คุณพ่อครัวก็ยังไม่ยอมเขียนอะไรซักที

    ว้าาา

    ReplyDelete